Quando devo usar um ou outro?

Não deixe esta imagem passar desapercebida.

ou

Não deixe esta imagem passar despercebida.

DIRETO AO PONTO

Embora semelhantes, as duas palavras querem expressar ideias diferentes.

Despercebido nega o verbo perceber. É aquilo que não se viu, não se ouviu, não se notou, não se atentou, algo a que não foi dada atenção. 

Por exemplo: A multa no contrato passou despercebida por estar em letras miúdas.

Caminhando despercebida, teclando ao celular, a moça não viu o buraco na calçada.

Desapercebido nega o verbo aperceber, o qual aparentemente ninguém usa no Brasil desde os tempos de Dom João VI. 

Esse verbo tem o sentido primeiro de prover, abastecer, fornecer e, portanto, desapercebido expressa desprovido, despojado de algo, desabastecido de alguma coisa ou sentimento. 

Por exemplo: Desapercebido de si mesmo, ele não sabia o que fazer. (no sentido de desprovido de si mesmo).

Ele foi pego desapercebido pela nova regra do imposto de renda. (no sentido de desprevenido).