Qual o uso correto? 

Paula sequer pediu autorização e já entrou na sala de aula. 

ou

Paula se quer pediu autorização e já entrou na sala de aula. 

DIRETO AO PONTO

As duas expressões existem e estão corretas de acordo com a norma padrão da língua. O problema é que elas são termos completamente diferentes, com usos e significados distintos. 

“Sequer” – A palavra “sequer” é um advérbio de intensidade, usado principalmente em orações que expressam sentido de negatividade. Possui o mesmo significado que “ao menos”, “pelo menos” e “nem mesmo”. 

Exemplo:

Estava tão ocupada hoje que sequer (nem mesmo) consegui almoçar!

“Se quer” – A expressão nada mais é do que a conjunção “se” acompanhada do verbo “querer” – nada de advérbio. É uma forma de introduzirmos uma condição; pode ser sinônimo de “se deseja” ou “se pretende”. 

Exemplo:

Se quer (se deseja) ganhar a medalha, terá que treinar muito! 

Então o correto é: Paula sequer pediu autorização e já entrou na sala de aula.