Quando devo usar uma ou outra?

Vamos tirar uma foto para a posteridade!

ou

Vamos tirar uma foto para a posterioridade!

As duas palavras existem na Língua Portuguesa. São usados para situações diferentes.

DIRETO AO PONTO

Posteridade – substantivo feminino 

Significado: para sempre, guardar para lembrar muito tempo, futuro, para as gerações futuras; a humanidade futuramente ou as pessoas que aparecerão depois da geração atual:

Exemplo: Deixarei meu legado para a posteridade.

Posterioridade – substantivo feminino 

Significado: Caráter do que é posterior, do que acontece depois de: posterioridade de um fato, dos dias, das circunstâncias. Condição ou qualidade do que está localizado na parte traseira.